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本帖最后由 AyakaKamisato 于 2021-12-23 12:48 编辑
由于藏宝阁的宝宝经常打错书（真的很想吐槽！），比如力破打了感知驱鬼，耐攻打了敏捷，八九技能的宝宝打了冥思(以为自己的宝宝是珍宝阁翻页，剑会从来都是宝宝蓝用完前就被清了！），很容易让人产生自己打书的想法。然而在自己打书之前，我们需要确定一下打书成功的概率，从而帮助我们对比藏宝阁未打书宠和成品之间的价格，以确定自己打书是否值得。
下面我们将推导，n技能的未打书宠，把所有不需要的技能全部打掉，只剩下一个特殊技能，打书成功的概率
一. 2技能
很好理解 打成概率1/2 打废概率1/2
二. 3技能
为了方便讨论 技能记作 A B C(特殊)
需要注意的是，当C以外的技能都被打掉后，不会再继续打书
也就是说：
第一，不可能出现序列ABC在第三本书打掉C，因为在打掉技能AB后，已经打成，我们不会再继续打书打掉C
第二，不可能出现序列 ABA在第三本书打成，因为在打掉技能AB后，已经打成，我们不会再继续打书打掉A
概率如下：
第二本书打成 (2x1)/(3×3) 即AB BA
第三本书打成 (2x1x1)/(3x3x3) 即AAB BBA 正如上文所述，ABA BAB之类的情况不可能出现
类似地，我们有
第四本书打成 (2x1x1x1)/(3x3x3x3)
所有式子相加后，是一个公比为1/3的等比数列，结果为1/3
三. 4技能
为了方便讨论 技能记作 A B C D(特殊)
显然 第三本书打成的概率为 (3x2x1)/(4x4x4)
关键在于如何计算第四本书打成
显然，分母为4x4x4x4
分子可以理解为从ABC中选择两个技能记作UV，即组合数C_3^2；再从前三个位置中选择两个位置给U，剩下一个位置给V，即C_3^2；或从三个位置中选择一个位置给U，剩下两个位置给V，即C_3^1；综上所述，分子为C_3^2x(C_3^2+C_3^1)
之所以选择两个技能放到前三个位置（剩下一个技能放到第四个位置，一共有四个位置），是由于：如果有三个技能，那么我们已经打书成功，打书过程提前终止，不需要继续打书；而如果只有一个技能，那么我们没有把所有不需要的技能都打掉，打书并没有结束
根据二项式定理，C_3^2+C_3^1=2^3-2，因此分子为3×(2^3 - 2)
因此，第四本书打成的概率为 3×(2^3-2)/(4x4x4x4)
并且，我们发现，第三本书打成的概率也可以写成上述形式 3×(2^2-2)/(4x4x4)
因此，我们可以得到通项：
第(n+3)本书打成的概率为3x(2^(n+2)-2)/(4^(n+3)) = (3/4)x((2/4)^(n+2)) - (3x2)/(4^(n+3))
显然，这也是一个等比数列，数列的和是1/4
四.5技能
我们把二项式定理扩展到三项式定理，可以得到通项 4x(3^(n+3)-3x1-3x(2^(n+3)-2))/(5^(n+4))
同样地，也可转化为一个等比数列，求和结果为1/5
同理我们可以推导6技能，7技能，直至n技能
根据目前的结果，我们可以猜测，n技能的未打书宠，把所有不需要的技能全部打掉，只剩下一个特殊技能，打书成功的概率为1/n
未来的工作(Future Work)
我们发现，推导的结果异常得简洁，让我们不由自主的怀疑，是否存在更简洁的推导过程 |
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发表于 2021-12-23 12:43:40
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