关于双特殊技能宠打书成功的概率问题
本帖最后由 AyakaKamisato 于 2022-3-30 10:09 编辑最近入坑了不久，同时也在不断更新装备和宝宝。原本打算再更新几只力劈，去找个和谐的战队打群雄养老。结果一上来就被要求净台力劈，既然是团队提出的要求，无论怎样都要去藏宝阁搜索一波，技能数太少的自然没有用，还不如不带净台。目前唯一搜到的具有实用价值的，是一只11技能的画魂，摆三十几万；然而，13技能的神马壁垒力劈童子也才摆三十几万；净台和神马选其一，我还是选择神马。
事实上，群雄决赛也经常能看到神兽神马登场，要我花跟神马力劈一样的钱去整一只净台，想必是被换一种方式拒绝了。然而，我并没有就此放弃，我发现11技能的死亡法防才摆四万多。理论上来讲，11技能的死亡法防和11技能的净态力劈打成的概率是一样的，如果胚子价格接近的话，成品的价格也应该相当接近才对。然而，我看了下藏宝阁，发现净台力劈的胚子比死亡法防贵很多，商人们赶紧去抓净台力劈啊，这可是商机#24
前不久我在论坛上发布过一个帖子，证明了n技能的单特殊胚子打书成功的概率的1/n，不幸的是贴子中的Future Work仍未解决，我还是没有找到更简洁的方法来计算，希望能得到大神的指点，好让我醍醐灌顶。
最近，我看到有人宣称n技能的双特殊胚子打成的概率是1/(n*(n-1)，不清楚是不是喜欢玩资源的玩家们受此结论恐吓而不敢打书，才导致净台力劈的价格如此离谱。
然而，打成的概率真的有这么低吗？我们可以用特殊值法进行验证，比如，显然，3技能的双特殊胚子打成的概率是1/3，而上述公式的结果是1/6，并不正确。接下来，本文会尝试推导n技能的双特殊未打书宠，把所有不需要的技能全部打掉，只剩下二个特殊技能，打书成功的概率。
在此吐槽下论坛不支持Latex，导致公式都没法打#24
一、3技能
很好理解 打成概率1/3 打废概率2/3
二、4技能
为了方便讨论 技能记作 A B C(特殊1) D(特殊2)
需要注意的是，当C和D以外的技能都被打掉后，不会再继续打书
也就是说：
第一，不可能出现序列ABC，在第三本书打掉C而打废，因为在打掉技能AB后，已经打成，我们不会再继续打书打掉C
第二，不可能出现序列ABA，在第三本书打成，因为在打掉技能AB后，已经打成，我们不会再继续打书打掉A
概率如下：
第二本书打成 (2*1)/(4*4) 即AB和BA
第三本书打成 (2*1*1)/(4*4*4) 即AAB和BBA //正如上文所述，ABA和BAB之类的情况不可能出现
类似地，我们有：
第四本书打成 (2*1*1*1)/(4*4*4*4)
第n本书打成 (2*1*1*...*1)/(4*4*4*...*4)
所有式子相加，是一个公比为1/4的等比数列，结果为1/6
三、5技能
为了方便讨论 技能记作 A B C D(特殊1) E(特殊2)
显然，第三本书打成的概率为 (3*2*1)/(5*5*5)
下面讨论如何计算第四本书打成的概率：
显然，分母为5*5*5*5
下面讨论如何计算分子：
首先从A B C中任意选择两个技能记作U V，即组合数C_3^2
再从序列的前三个位置中选择两个位置给U，剩下一个位置为V，即组合数C_3^2
或者从序列的前三个位置中选择一个位置给U，剩下两个位置给V，即组合数C_3^1
之所以选择两个技能放到（依次打掉的技能的）序列中的前三个位置（剩下一个技能放到第四个位置，由于在第四本书打成，因此一共有四个位置），是由于：如果在前三个位置中出现了三个技能（而不是只出现我们选择的两个），那么我们在第三本书已经打成，没有必要继续打书；而如果前三个位置中只出现了一个技能，那么加上第四个位置的一个，我们在第四本书只打掉了两个技能，还差一个不需要的技能，打书并没有结束
实际上，U V在序列前三个位置中的情况，可以看作是二项式定理 (U + V)^3 = U^3 + C_3^2*U^2*V + C_3^1*U*V^2 + V^3，显然，U^3和V^3是前三个位置中只出现了一个技能的情形，是我们不需要的，将U = 1和V = 1代入，可以得到 C_3^2 + C_3^1 = 2^3 - 2
综上，分子为C_3^2*(2^3 - 2)
同理，第五本书打成的概率
分母为5*5*5*5*5
分子为3*(2^4 - 2) // 考虑二项式 (U + V)^4 - U^4 - V^4 并将U=1和V=1代入
第(n+3)本书：
分母为5^(n+3)
分子为3*(2^(n + 2) - 2)
即3/5 * (2/5)^(n+2) - 3*2 * (1/5)^(n+3)
所有式子相加后，是一个公比为2/5等比数列，和另一个公比为1/5的等比数列，数列的和是1/10
四、6技能
为了方便讨论 技能记作 A B C D E(特殊1) F(特殊2)
第(n+4)本书
显然，分母为 6*6*6*...*6
下面讨论如何计算分子：
类似地，从4个技能 A B C D中选择3个技能，即组合数C_4^3，放到（依次打掉的技能的）序列中的前(n+3)个位置
同时，我们把二项式定理扩展到三项式定理，(U + V + W)^(n+3) - U^(n+3) - V^(n+3) - W^(n+3) - ((U + V)^(n+3) - U^(n+3) - V^(n+3)) - ((U + W)^(n+3) - U^(n+3) - W^(n+3)) - ((V + W)^(n+3) - V^(n+3) - W^(n+3))，将U=1 V =1 W=1代入，得到3^(n+3) - 3*1 - 3*(2^(n+3) - 2)
即分子为4*(3^(n+3) - 3*1 - 3*(2^(n+3) - 2))
同理，也可以根据等比数列求和进行计算，结果为1/15
同理，我们可以推到7技能，8技能，直至n技能
根据目前的结果，我们可以猜测，n技能的双特殊胚子，把所有不需要的技能全部打掉，只剩下二个特殊技能，打书成功的概率为2/(n*(n-1))
未来的工作(Future Work)
我认为肯定存在着更简洁的推导过程，然而由于我的能力有限，并没有发现。希望有大神可以指导我更简洁的推导过程，好让我醍醐灌顶。
非常幸运的是，有高人解决了我的Future Work。
在我的证明中，在计算第n次打成时，我将样本空间设定成，这n次打掉的技能，所构成的序列。如果出现循环，那么同一个技能会在序列中重复出现。
“高人”的解决方式是，我们打书直到剩下两个技能，将打书的过程绘制成“树状图”，将“树状图”的叶节点构成样本空间。直到注意的是，此时样本点的概率并不一定相同，因此不符合古典概型，但是这并不影响我们的论证。
显然，最后所剩的两个技能共C2N种，由于“对称性”，这C2N种情形概率相同，为1/C2N。
但是，值得注意的是，在打书过程中，如果打掉特殊技能，会导致打书提前结束。通过“树状图”，删除分支并不会影响概率，因此结果不变。 实际上我们发现胚子的技能越多，打成的可能性就越大。比如说我实际需要的技能是9技能（含1个特殊技能）。
使用9技能的胚子：我们打书直到剩下1个技能，共有C1_9 = 9种可能。并且，根据对称性，这9种情况是等概率的。显然，只有其中一种情况算是打成，即最后剩下的那一个技能恰好是我们需要的特殊技能。因此，打成的概率是1/9。
使用10技能的胚子（我们只需要9个技能，剩下的某一个无用技能留着不打）：我们打书直到剩下2个技能，共C2_10 = 10 * 9 / 2 = 45种可能。并且，根据对称性，这45种情况是等概率的。剩下的2个技能种，只要有一个技能包括我们所需的特殊技能，就算是打成，共有9种。因此，打成的概率是9/45 = 1/5。 精彩文章要顶 本帖最后由 AyakaKamisato 于 2022-3-28 21:57 编辑
我看了下净台力劈的胚子比死亡法防贵很多，商人们赶紧去抓净台力劈啊，这可是商机#24 精彩文章要顶#18 死亡法防掉了可以补哦，净台力劈，掉了你还补吗？真的好胚子，力劈还能补，掉了净台，你往哪补去！！！ fefefefefrffff 发表于 2022-3-28 22:16
死亡法防掉了可以补哦，净台力劈，掉了你还补吗？真的好胚子，力劈还能补，掉了净台，你往哪补去！！！
11技能不存在补的说法，要补的话，至少翻页14技能才不亏本我看了下，藏宝阁上胚子的价格相差三倍#24
fefefefefrffff 发表于 2022-3-28 22:16
死亡法防掉了可以补哦，净台力劈，掉了你还补吗？真的好胚子，力劈还能补，掉了净台，你往哪补去！！！
而且卖四万多的不可能补了法防，这不亏成狗#24 主要是抓的人太少，胚子太贵，现在没打书的胚子相差至少三倍#24
死亡法防你对比净台力劈？！
死亡法防宠都存在多少年了！
你这根本不是对等的 fefefefefrffff 发表于 2022-3-28 22:16
死亡法防掉了可以补哦，净台力劈，掉了你还补吗？真的好胚子，力劈还能补，掉了净台，你往哪补去！！！
楼主这对比的点就有问题的！
要是说死亡净台或者法防净台对比力劈净台还可以对比性！
楼主倒好，直接拿死亡法防对比净台力劈，我就呵呵咯 笑得很酷 发表于 2022-3-28 22:23
死亡法防你对比净台力劈？！
死亡法防宠都存在多少年了！
你这根本不是对等的
主要是 净台和力劈都是稀有宠，可能出的概率少吧
法防是稀有宠，但是死亡不是稀有宠
不过我觉得还是抓得人太少了#24
笑得很酷 发表于 2022-3-28 22:27
楼主这对比的点就有问题的！
要是说死亡净台或者法防净台对比力劈净台还可以对比性！
楼主倒好，直接拿 ...
死亡净台也比死亡法防的胚子贵吧#24 我就是想说明抓得人太少了
现在净台力劈的胚子卖一万多呢#24 AyakaKamisato 发表于 2022-3-28 22:31
法防死亡力劈都有兽决，净台有吗？楼主刚刚回归就来论坛发帖吗 AyakaKamisato 发表于 2022-3-28 21:55
我看了下净台力劈的胚子比死亡法防贵很多，商人们赶紧去抓净台力劈啊，这可是商机
楼主都不知道净台力劈是怎么打成的？先是合出10技能以上的净台胚子，然后上力劈兽决的，你以为是直接合出有净台和力劈两个技能的胚子？ 笑得很酷 发表于 2022-3-28 22:27
楼主都不知道净台力劈壁垒宠是怎么打成的，他以为合出双特殊的胚子再打书，殊不知净台力劈是打力劈兽决的
